Définition :
Soient \(A,B,C\) trois points (non alignés)
Soient \(H_A\) le demi-plan, délimité par \((BC)\) qui contient \(A\) et \(H_B\) le demi-plan délimité par \((BA)\) qui contient \(C\)
Nous appelons l'angle (saillant) $${{\measuredangle ABC}}:={{H_A\cap H_C}}$$ qui est la zone (convexe) "bordée" par les demi-droites \([BA)\) et \([BC)\)
Un angle est aussi appelé secteur angulaire et on le note aussi \(\widehat{ABC}\)
(Point, Demi-plan, Droite)
Angle rentrant
Définition :
Soient \(A,B,C\) trois points (non alignés)
Soient \(H_A\) le demi-plan, délimité par \((BC)\) qui contient \(A\) et \(H_B\) le demi-plan délimité par \((BA)\) qui contient \(C\)
Le complémentaire d'un angle saillant est un angle rentrant, et il est aussi "bordé" par les demi-droites \([BA)\) et \([BC)\) (mais il n'est pas convexe, sauf s'il est plat)
(Complémentaire)
Angle nul
Définition :
Soient \(A,B,C\) trois points (non alignés)
Soient \(H_A\) le demi-plan, délimité par \((BC)\) qui contient \(A\) et \(H_B\) le demi-plan délimité par \((BA)\) qui contient \(C\)
Quand \([BA)=[BC)\), l'angle \(\measuredangle ABC\) est dit nul
Angle plat
Définition :
Soient \(A,B,C\) trois points (non alignés)
Soient \(H_A\) le demi-plan, délimité par \((BC)\) qui contient \(A\) et \(H_B\) le demi-plan délimité par \((BA)\) qui contient \(C\)
Quand \(B\in[AC]\), l'angle \(\measuredangle ABC\) est l'un des deux demi-plans délimités par \((AC)\) et on dit qu'il est plat
Par convention, un angle plat est à la fois saillant et rentrant (ou ni l'un ni l'autre)
Sommet d'un angle
Définition :
Le point \(B\) est le sommet de l'angle \(\widehat{ABC}\)
Côtés d'un angle
Définition :
Les demi-droites \([BA)\) et \([BC)\) qui bordent l'angle \(\measuredangle ABC\) sont les côtés de \(\measuredangle ABC\)
Angle opposé
Définition :
L'angle dont les côtés sont les demi-droites opposées \(-[BA)\) et \(-[BC)\) est dit l'angle opposé à \(\measuredangle ABC\)
(Demi-droite opposée)
Angles supplémentaires
Définition :
Les angles dont l'un des côtés est identique \([BA)\) et l'autre est l'opposée \(-[BC)\) sont dits supplémentaires à \(\measuredangle ABC\)
Angle droit
Définition :
Un angle dont les deux côtés sont perpendiculaires est dit droit
(Droite perpendiculaire)
Angle orienté
Définition :
Un angle orienté est un angle dont un des côtés est considéré comme début et l'autre comme fin
La notation d'un angle orienté est identique à celle d'un angle non orienté
Dans la notation \(\measuredangle ABC\), \([BA)\) est considéré comme début et \([BC)\) comme fin
Angle central
Définition :
Soit \(O\) le centre d'un cercle \(\mathcal C\) et \(A,B\in\mathcal C\) deux points de ce cercle
On note \(\overset{\Large\frown}{AB}\) l'arc compris dans l'angle \(\measuredangle AOB\)
et on dit que \(\measuredangle AOB\) est un angle central qui éclaire l'arc \(\overset{\Large\frown}{AB}\)
Si l'angle \(\measuredangle AOB\) est orienté, on oriente l'arc \(\overset{\Large\frown}{AB}\) dans le même sens
Caractéristiques
Définition :
La mesure (algébrique/orientée) d'un angle en radians est la mesure d'un arc qu'il éclaire du centre
Propriétés
Angles issus de l'intersection de deux droites
Proposition :
Deux droites sécantes coupent le plan en \(4\) angles, deux à deux opposés et deux à deux supplémentaires
(Droite)
Mesure
Définition :
Soit \(O\) le centre d'un cercle \(\mathcal C\) et \(A,B\in\mathcal C\) deux points de ce cercle
On note \(\overset{\Large\frown}{AB}\) l'arc compris dans l'angle \(\measuredangle AOB\) et on dit que \(\measuredangle AOB\) est un angle central qui éclaire l'arc \(\overset{\Large\frown}{AB}\)
Si l'angle \(\measuredangle AOB\) est orienté, on oriente \(\overset{\Large\frown}{AB}\) dans le même sens
Cette définition ne dépend pas du cercle choisi
Définition :
La mesure (resp. Algébrique ou orientée) d'un angle en radians est la mesure (resp. Algébrique ou orientée) de l'arc qu'il éclaire du centre
(Arc)
Conservation par les isométries et similitudes
Proposition :
Les mesures (resp. Algébriques) des angles sont préservées par les isométries et similitudes
(Isométrie, Similitude)
Mesure orientée d'un angle et de son opposé
Proposition :
Un angle et son opposé ont la même mesure orientée
( opposé)
Mesure d'un angle droit
Proposition :
La mesure d'un angle droit est \(\frac\pi2\)
( droit)
Mesure d'un angle plat
Proposition :
La mesure d'un angle plat est \(\pi\)
( plat)
Proposition :
Si la mesure orientée d'un angle est \(\alpha\pmod{2\pi}\), alors la mesure orientée de son angle supplémentaire est $$\alpha-\pi\pmod{2\pi}$$
Mesure d'angle entre deux droites
Définition :
La mesure d'angle orientée entre deux droites sécantes est définie modulo \(\pi\) comme suite : $$\measuredangle(D_1,D_2)=\measuredangle AOB\mod\pi\qquad\text{ si }\quad D_1=(OA) \quad\text{ et }\quad D_2=(OB)$$
Définition :
La mesure d'angle orientée entre deux droites parallèles (confondues ou pas) est \(0\pmod\pi\)
Angles correspondants, alternes-internes et alternes-externes
Définition :
Deux droites parallèles et une droite sécante forment \(8\) angles :
\(4\) paires d'angles correspondants
\(2\) paires d'angles alternes-internes
\(2\) paires d'angles alternes-externes
Proposition :
Les angles correspondants, les angles alternes-internes et les angles alternes-externes sont égaux
La somme de deux autres angles est \(\pi\)
Dans un cercle
Proposition :
Soit \(4\) points \(A,B,C,D\) d'un cercle \(\mathcal C\)
Nous avons l'égalité entre mesures orientées $${{\measuredangle([AB),[CD))}}={{\frac12(\overset{\Large\frown}{AC}+\overset{\Large\frown}{BD})}}$$
Identification de points cocycliques ou alignes
Proposition :
Quatre points distincts sont cocycliques ou alignés si et seulement si on a l'égalité entre angles orientés $$\measuredangle ABC=\measuredangle ADC\pmod\pi$$
(Points alignés, Cocyclisme - Points cocycliques)
